Dominio di una funzione razionale
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La divisione per 0 può verificarsi quando la funzione ha una variabile nel denominatore di un’espressione razionale. Cioè, dovete prestare attenzione alle funzioni razionali. Guardiamo alcuni esempi e notiamo che “divisione per 0” non significa necessariamente che x è 0!
Nell’esempio qui sopra, notate che quando x = 2 e quando x = 0, il valore della funzione è 1. (Potete verificarlo valutando f(2) e f(0).) Cioè, (2, 1) e (0, 1) sono sul grafico. La linea di riflessione qui è x = 1, quindi il vertice deve essere nel punto (1, f(1)). Valutando f(1) si ottiene f(1) = 4, quindi il vertice è in (1, 4).
Poiché il tentativo di risolverlo finisce con un’affermazione non valida – 0 non può essere uguale a 6! – l’equazione non ha soluzione. Non ci sono valori di x per i quali , quindi questo dimostra che l’intervallo è ristretto.
Percorso di una funzione
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Per calcolare il dominio di una funzione, dobbiamo ottenere i valori di x, per i quali esiste quella funzione. O in altre parole, dobbiamo trovare per quali valori di x, la funzione non esiste e mantenere i valori di x dove la funzione esiste.
Graficamente, il dominio di una funzione è l’insieme dei valori di x per i quali il grafico della funzione è disegnato su di esso. Se non c’è niente sopra un valore di x, quel valore di x non appartiene al dominio.
Nel corso sulle funzioni imparerai passo dopo passo come calcolare il dominio per funzioni più complesse. Spiego anche come calcolare il percorso di una funzione, la composizione di funzioni. Lo raccomando.
Esempi di dominio di una funzione
Anche se abbiamo già introdotto questo concetto nelle sezioni precedenti, in questa sezione lo studieremo in profondità per il caso di funzioni reali, e impareremo a calcolarlo. Lo faremo attraverso i seguenti punti:
Il caso più semplice di funzione razionale è quello della funzione di proporzionalità inversa 1/x. In questo caso, il grafico è un’iperbole equilatera. Sottraendo o aggiungendo una costante k al denominatore si sposta il grafico rispettivamente a sinistra o a destra.
Quando le funzioni precedenti appaiono come parti di un’altra funzione, sia nelle addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni o divisioni, cerchiamo il dominio della funzione globale come l’insieme di quei valori che soddisfano tutte le restrizioni viste, cioè:
Tieni presente che per semplificare una funzione che hai ottenuto operando con altre funzioni devi indicare chiaramente il dominio, e questo deve essere quello della funzione originale. Altrimenti si potrebbe ottenere una funzione dopo la semplificazione che non coincide con quella originale.
Esercizi di dominazione di una funzione risolti passo dopo passo
In matematica, il dominio (insieme di definizione o insieme di partenza) di una funzione è l’insieme di esistenza della funzione stessa, cioè i valori per i quali la funzione è definita. È l’insieme di tutti gli oggetti che può trasformare, denotato o . Si chiama dominio un insieme aperto e connesso il cui interno non è vuoto.
Per il calcolo accurato del dominio di una funzione, è necessario introdurre il concetto di restrizione nel corpo reale. Queste restrizioni aiutano a identificare l’esistenza del dominio di una funzione. I più usati sono:
Non c’è alcuna restrizione se n è dispari, ma se n è pari, la funzione f(x) deve necessariamente essere maggiore o uguale a zero, poiché le radici negative non sono definite nel corpo reale. Per esempio:
Per la proprietà di cui sopra, si osserva che perché questa funzione esista, necessariamente ; liberando, si ottengono due soluzioni e . L’unione di entrambe le soluzioni rappresenta il dominio della funzione, che è definito come l’insieme (-∞, -3) U (3, +∞).
